• De manière générale, un modèle est une simplification du réel dans laquelle on doit pouvoir changer des variables d’entrée et obtenir des valeurs en sortie.
  Entre les deux, le modèle est construit pour reproduire un processus réel, qu’il s’agisse d’un modèle analogique ou d’un modèle numérique. Ce dernier passera par une mise en équations basée sur les connaissances acquises, complétées des éventuelles hypothèses nécessaires.
  Le modèle doit ensuite être ajusté et validé par comparaison avec le réel, qu’il doit reproduire.
  Il peut alors être exploité dans différents scénarios, avec des valeurs d’entrée correspondant à d’autres situations que celles observées.

• Un modèle à compartiments est un modèle dans lequel on définit plusieurs réservoirs ainsi que les flux entre ces compartiments.
  Ces modèles à compartiments sont présents depuis de nombreuses années en SVT, par exemple associés au logiciel Vensim pour le cycle de l’eau ou le cycle du carbone, comme proposé sur le site Access.
  Toutefois le logiciel Vensim présente deux inconvénients (surmontables) :
  • il nécessite une installation, ce qui le rend incompatible avec un usage sur les ordinateurs prêtés par la Région Île-de-France ;
  • il n’est pas très intuitif et sa prise en main est difficile à justifier pour un usage ponctuel.
    C’est pourquoi on a choisi ici d’essayer de l’adapter dans Édu’modèles.

Construction du modèle

• Dans le modèle SIR, on divise la population en trois catégories : Sain (S), Infectés (I) et Guéris (R).

On s’est ici appuyé sur la proposition de la page Modélisation d’une épidémie du site Images des mathématiques pour la transposer dans Édu’modèles.
Toutes les explications nécessaires y sont données. Dans ce modèle, il y a un premier flux du compartiment S vers le compartiment I, correspondant à l’infection de sujets sains, puis un flux du compartiment I vers le compartiment R, correspondant à la guérison.
Dans ce premier modèle simple, il n’y a pas de décès et on considère que les individus guéris sont immunisés (sinon il y aurait un flux de retour vers le compartiment S).
Le flux de S vers I dépend d’un taux de transmission à définir et de l’effectif des compartiments S et I.
Le flux de I vers R dépend d’un taux de guérison à définir et de l’effectif du compartiment I.

Dans Vensim, les compartiments mais aussi les flux peuvent être définis par une équation. Dans Édu’modèles, les relations seront ici définies dans l’équation de la variable.
Les taux de transmission et de guérison seront ici des variables distinctes, ce qui permettra de les manipuler directement.

Les compartiments du modèle

Images des mathématiques nous propose le système suivant pour le modèle SIR :

Ce que nous transposerons en paramétrant le taux de variation (et non la valeur) de la manière suivante pour nos variables S, I et R :

• S diminue du flux vers I, correspondant aux infections
  d(S)/dt est décroissant (d’où le - ) et dépend du taux de transmission β correspondant à v[1], de sa propre valeur v[3] et du nombre d’infectés I donnée par v[4]

-βS(t)I(t) devient -v[1]*v[3]*v[4]

Paramétrage

• I augmente de ce qui vient de S et diminue de ce qui va vers R (ceux qui guérissent)
  d(I)/dt dépend d’une part du taux de transmission v[1], de sa propre valeur v[3] et du nombre d’infectés I donnée par v[4], d’autre part du taux de guérison γ donné par v[2]

βS(t)I(t) - γI(t) devient (v[1]*v[3]-v[2])*v[4]

Paramétrage

• R augmente de ce qui vient de I
  d(R)/dt est croissant et dépend du taux de guérison γ donné par v[2] et du nombre d’infectés I donnée par v[4]

  

  Paramétrage

Vérification du modèle

Images mathématiques propose cet exemple de résultat :

Un résultat avec le modèle sur la page Images mathématiques

Avec un taux de transmission de 0,8, un taux de guérison de 0,05, et 50% d’infectés au départ, nous obtenons le résultat suivant avec notre modèle dans Édu’modèles :

Un résultat avec notre modèle

(Nous partons ici du principe que le modèle proposé par Images mathématiques est valide et que nous cherchons juste à le transposer dans un autre logiciel.)

Activité : modèle SIR

Étape 1 : Découverte du modèle

• Compréhension du modèle : un texte, reprenant les explications du site Images mathématiques, est fourni et pour obliger à regarder les formules, on demande d’identifier de quoi dépend le nombre d’infectés.
• Adaptation du modèle la question faisant le lien avec la COVID-19, il faut adapter le taux de transmission et le le taux de guérison.
  On demande de les calculer à partir des données fournies, puis de paramétrer le modèle.

Étape 2 : utilisation du modèle pour justifier les mesures de distanciation sociale

Notre modèle de départ correspond à une propagation de l’épidémie sans mesure de limitation, nous allons l’adapter avec des scénarios de distanciation sociale plus ou moins poussée.
Pour cela on demande :

• d’identifier le ou les paramètre(s) du modèle qui seraient influencés par une distanciation sociale (ici ce serait le taux de transmission)
• de faire tourner le modèle en faisant varier la valeur de ce paramètre pour modéliser différents niveaux de confinement : ne rien faire, isolement des cas, isolement des cas + quarantaine des cas contacts, fermeture des écoles et des universités (les valeurs sont choisies de manière arbitraire.)

Les résultats sont exportés au format csv pour pouvoir être superposés.

 Exemple de production élève

Exemple de production élève

D’après notre modèle, les mesures de distanciation permettent d’étaler les contaminations, ce qu’il faudra relier à la capacité des hôpitaux à traiter les patients.

Images mathématiques propose ce résultat issu d’une étude au Royaume-Uni :

Le résultat d’une étude avec une modélisation des lits occupés dans les hôpitaux en fonction des mesures prises

On y voit un résultat assez similaire à celui obtenu en classe.

Étape 3 : Et la vaccination ?

Dans ce modèle, vacciner revient à créer un flux directement du compartiment S au compartiment R, sans passer par I.
On demande alors aux élèves de compléter le modèle, au moins sur papier, dans le logiciel pour les plus à l’aise.